椭圆曲线ECC加密算法入门介绍(二）
作者：ZMWorm[CCG] 来源：ZMWorm.Yeah.Net http://www.csai.cn
▲k个相同的点P相加，我们记作kP。如下图：P+P+P = 2P+P = 3P。
下面，我们利用P、Q点的坐标(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。
例4.1：求椭圆曲线方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6上，平常点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。
解：（1）先求点-R(x3,y3)
因为P,Q,-R三点共线，故设共线方程为y=kx+b,其中
若P≠Q(P,Q两点不重合) 则
直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线，故由例3.1可知：
k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)
因此P,Q,-R三点的坐标值就是方程组：
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 -----------------[1]
y=(kx+b) -----------------[2]
的解。
将[2]，代入[1] 有
(kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6 --------[3]
对[3]化为一般方程，根据三次方程根与系数关系（当三次项系数为1时；-x1x2x3 等于常数项系数， x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数，-(x1+x2+x3)等于二次项系数。）
所以-(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2
x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出点-R的横坐标
因为k=(y1-y3)/(x1-x3) 故
y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出点-R的纵坐标
（2）利用-R求R
显然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出点R的横坐标
而y3 y4 为 x=x4时 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解
化为一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根据二次方程根与系数关系得：
-(a1x+a3)=y3+y4
故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3); ---------------求出点R的纵坐标
即：
x4=k2+ka1+a2+x1+x2;
y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;
本节的最后，提醒大家注意一点，以前提供的图像可能会给大家产生一种错觉，即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上，椭圆曲线并不一定关于x轴对称。如下图的y2-xy=x3+1
五、密码学中的椭圆曲线
我们现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识，这是值得高兴的。但请大家注意，前面学到的椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密；所以，我们必须把椭圆曲线变成离散的点。
让我们想一想，为什么椭圆曲线为什么连续？是因为椭圆曲线上点的坐标，是实数的（也就是说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的），实数是连续的，导致了曲线的连续。因此，我们要把椭圆曲线定义在有限域上（顾名思义，有限域是一种只有由有限个元素组成的域）。
域的概念是从我们的有理数，实数的运算中抽象出来的，严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说，域中的元素同有理数一样，有自己得加法、乘法、除法、单位元(1)，零元(0),并满足交换率、分配率。
下面，我们给出一个有限域Fp，这个域只有有限个元素。
Fp中只有p（p为素数）个元素0,1,2 …… p-2,p-1；
Fp 的加法（a+b）法则是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的余数 和c÷p的余数相同。
Fp 的乘法(a×b)法则是 a×b≡c (mod p)；
Fp 的除法(a÷b)法则是 a/b≡c (mod p)；即 a×b-1≡c (mod p)；（b-1也是一个0到p-1之间的整数，但满足b×b-1≡1 (mod p)；具体求法可以参考初等数论，或我的另一篇文章）。
Fp 的单位元是1，零元是 0。
同时，并不是所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。下面我们就把y2=x3+ax+b 这条曲线定义在Fp上：
选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b
4a3+27b2≠0 (mod p)
则满足下列方程的所有点(x,y)，再加上 无穷远点O∞ ，构成一条椭圆曲线。
y2=x3+ax+b (mod p)
其中 x,y属于0到p-1间的整数，并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。
我们看一下y2=x3+x+1 (mod 23)的图像
是不是觉得不可思议？椭圆曲线，怎么变成了这般模样，成了一个一个离散的点？
椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子，但其本质仍是一条椭圆曲线。举一个不太恰当的例子，好比是水，在常温下，是液体；到了零下，水就变成冰，成了固体；而温度上升到一百度，水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。
Fp上的椭圆曲线同样有加法，但已经不能给以几何意义的解释。不过，加法法则和实数域上的差不多，请读者自行对比。
1. 无穷远点 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P
2. P(x,y)的负元是 (x,-y)，有P+(-P)= O∞
3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系：
x3≡k2-x1-x2(mod p)
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1 若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1)
例5.1 已知E23(1,1)上两点P(3,10)，Q(9,7)，求1)-P，2)P+Q，3) 2P。
解 1) –P的值为(3,-10)
2) k=(7-10)/(9-3)=-1/2，2的乘法逆元为12 因为2*12≡1 (mod 23)
k≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。
x=112-3-9=109≡17 (mod 23);
y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
故P+Q的坐标为(17,20)
3) k=[3(32)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
x=62-3-3=30≡20 (mod 23)
y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
故2P的坐标为(7,12)
最后，我们讲一下椭圆曲线上的点的阶。
如果椭圆曲线上一点P，存在最小的正整数n，使得数乘nP=O∞，则将n称为P的 阶，若n不存在，我们说P是无限阶的。
事实上，在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n都是存在的（证明，请参考近世代数方面的书）
练习：
1． 求出E11(1,6)上所有的点。
2．已知E11(1,6)上一点G(2,7)，求2G到13G所有的值。
六、椭圆曲线上简单的加密/解密
公开密钥算法总是要基于一个数学上的难题。比如RSA 依据的是：给定两个素数p、q 很容易相乘得到n，而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上有什么难题呢？
考虑如下等式：
K=kG [其中 K,G为Ep(a,b)上的点，k为小于n（n是点G的阶）的整数]
不难发现，给定k和G，根据加法法则，计算K很容易；但给定K和G，求k就相对困难了。
这就是椭圆曲线加密算法采用的难题。我们把点G称为基点（base point），k（k <n，n为基点G的阶）称为私有密钥（privte key），K称为公开密钥（public key)。
现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程：
1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。
2、用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。
3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。
4、用户B接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r <n）。
5、用户B计算点C1=M+rK；C2=rG。
6、用户B将C1、C2传给用户A。
7、用户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。因为
C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
再对点M进行解码就可以得到明文。
在这个加密通信中，如果有一个偷窥者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 都是相对困难的。因此，H无法得到A、B间传送的明文信息。
密码学中，描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参量：
T=(p,a,b,G,n,h)。
（p 、a 、b 用来确定一条椭圆曲线，G为基点，n为点G的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分）
这几个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几个条件：
1、p 当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求；
2、p≠n×h；
3、pt≠1 (mod n)，1≤t <20；
4、4a3+27b2≠0 (mod p)；
5、n 为素数；
6、h≤4。
七、椭圆曲线在软件注册保护的应用
我们知道将公开密钥算法作为软件注册算法的好处是Cracker很难通过跟踪验证算法得到注册机。下面，将简介一种利用Fp(a,b)椭圆曲线进行软件注册的方法。
软件作者按如下方法制作注册机（也可称为签名过程）
1、选择一条椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G；
2、选择私有密钥k（k<n，n为G的阶），利用基点G计算公开密钥K=kG；
3、产生一个随机整数r（r <n），计算点R=rG；
4、将用户名和点R的坐标值x,y作为参数，计算SHA（Secure Hash Algorithm 安全散列算法，类似于MD5）值，即Hash=SHA(username,x,y)；
5、计算sn≡r - Hash * k (mod n)
6、将sn和Hash作为 用户名username的序列号
软件验证过程如下：（软件中存有椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G，公开密钥K）
1、从用户输入的序列号中，提取sn以及Hash；
2、计算点R≡sn*G+Hash*K ( mod p )，如果sn、Hash正确，其值等于软件作者签名过程中点R(x,y)的坐标，因为
sn≡r-Hash*k （mod n）
所以
sn*G + Hash*K
=(r-Hash*k)*G+Hash*K
=rG-Hash*kG+Hash*K
=rG- Hash*K+ Hash*K
=rG=R ；
3、将用户名和点R的坐标值x,y作为参数，计算H=SHA(username,x,y)；
4、如果H=Hash 则注册成功。如果H≠Hash ，则注册失败(为什么？提示注意点R与Hash的关联性)。
简单对比一下两个过程：
作者签名用到了：椭圆曲线Ep(a,b)，基点G，私有密钥k，及随机数r。
软件验证用到了：椭圆曲线Ep(a,b)，基点G，公开密钥K。
Cracker要想制作注册机，只能通过软件中的Ep(a,b)，点G，公开密钥K ，并利用K=kG这个关系获得k后，才可以。而求k是很困难的。
练习：
下面也是一种常于软件保护的注册算法，请认真阅读，并试回答签名过程与验证过程都用到了那些参数，Cracker想制作注册机，应该如何做。
软件作者按如下方法制作注册机（也可称为签名过程）
1、选择一条椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G；
2、选择私有密钥k（k <n），利用基点G计算公开密钥K=kG；
3、产生一个随机整数r（r <n），计算点R(x,y)=rG；
4、将用户名作为参数，计算Hash=SHA(username)；
5、计算 x’=x (mod n)
6、计算sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
7、将sn和x’作为 用户名username的序列号
软件验证过程如下：(软件中存有椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G，公开密钥K)
1、从用户输入的序列号中，提取sn以及x’；
2、将用户名作为参数，计算Hash=SHA(username)；
3、计算 R=(Hash*G+x’*K)/sn，如果sn、Hash正确,其值等于软件作者签名过程中点R(x,y)，因为
sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
所以
(Hash*G+x’*K)/sn
=(Hash*G+x’*K)/[(Hash+x’*k)/r]
=(Hash*G+x’*K)/[(Hash*G+x’*k*G)/(rG)]
=rG*[(Hash*G+x’*K)/(Hash*G+x’*K)]
=rG=R (mod p)
4、v≡x (mod n)
5、如果v=x’ 则注册成功。如果v≠x’ ，则注册失败。
八、结语
历经半个多月断断续续的写作，这篇拙作终于算告一段落了。为写这篇文章，我查了大量的资料，但为了使文章更通俗易懂，我尽量避免涉及专业术语，F2n域上的椭圆曲线本文也没有涉及。不过，一些名词描述的可能还不太精确，希望众读者对文章的问题，多多批评指正。我也仅仅把这篇文章作为初稿，我会不断修订他的。最后感谢看雪、Sunbird、CCG以及看雪论坛所有成员对我的支持，感谢一切帮助过我的人，没有你们的鼓励，这篇文章我是没有动力写完的，谢谢，谢谢大家！
主要参考文献
张禾瑞，《近世代数基础》，高等教育出版社，1978
闵嗣鹤 严士健，《初等数论》，高等教育出版社，1982
段云所，《网络信息安全》第三讲，北大计算机系
Michael Rosing ，chapter5《Implementing Elliptic Curve Cryptography》，Softbound，1998
《SEC 1: Elliptic Curve Cryptography》，Certicom Corp.，2000
《IEEE P1363a / D9》，2001
该文转自：http://tech.csai.cn/web/200604021704531906.htm
